Demostración Del Binomio De Newton
El binomio de Newton es una fórmula matemática que permite calcular el resultado de una multiplicación entre dos términos cualesquiera. Esta formula fue inventada por el gran matemático alemán Isaac Newton y esta relacionada con la teoría de los polinomios. Esta formula es muy útil para realizar cálculos y resulta una herramienta imprescindible para los estudiantes de matemáticas.
En este artículo veremos la demostración del binomio de Newton, explicaremos los pasos necesarios para llegar a la demostración y veremos como aplicar este conocimiento en la práctica. Al final de este artículo deberías tener una comprensión clara del binomio de Newton y de cómo demostrarlo.
¿Qué es el binomio de Newton?
El binomio de Newton es una fórmula matemática que permite calcular el resultado de una multiplicación entre dos términos cualesquiera. Esta fórmula fue inventada por el gran matemático alemán Isaac Newton y está relacionada con la teoría de los polinomios. Esta fórmula es muy útil para realizar cálculos y resulta una herramienta imprescindible para los estudiantes de matemáticas.
En su forma más sencilla, la fórmula está definida de la siguiente manera:
(a + b)n = an + n*an-1*b + n*(n-1)*an-2*b2/2! + ... + bn
Donde a y b son dos números cualesquiera y n es un entero positivo.
Demostración del binomio de Newton
Ahora veremos la demostración del binomio de Newton, es decir, veremos como llegar a la fórmula que se muestra arriba a partir de los axiomas de la teoría de los polinomios.
Lo primero que debemos hacer es recordar la definición de polinomio. Un polinomio es una expresión algebraica que consiste en la suma o diferencia de varios términos. Por ejemplo, la siguiente expresión es un polinomio:
3x2 + 4x + 5
En la teoría de los polinomios se establece que cualquier polinomio puede ser escrito como la suma de términos lineales. Por ejemplo, el polinomio que se muestra arriba se puede escribir como la siguiente suma de términos lineales:
3x2 + 4x + 5 = x2 + x + 1 + 2x + 4
Ahora que ya hemos recordado la definición de polinomio, podemos pasar a la demostración del binomio de Newton. Empezaremos por considerar un polinomio de la siguiente forma:
(a + b)n
Teniendo en cuenta lo que hemos visto sobre la teoría de los polinomios, podemos escribir el polinomio anterior como la siguiente suma de términos lineales:
(a + b)n = an + an-1*b + an-2*b2/2! + ... + bn
Si ahora multiplicamos cada término por el factor correspondiente, obtenemos la siguiente expresión:
(a + b)n = an + n*an-1*b + n*(n-1)*an-2*b2/2! + ... + bn
Y así es como llegamos a la demostración del binomio de Newton.
Aplicación práctica del binomio de Newton
Ahora que ya hemos visto la demostración del binomio de Newton, veamos un ejemplo de aplicación práctica. Supongamos que queremos calcular el siguiente producto:
(2 + 3)5
Para calcular el producto, podemos utilizar la fórmula del binomio de Newton:
(2 + 3)5 = 25 + 5*24*3 + 5*4*23*32/2! + 5*4*3*22*33/3! + 5*4*3*2*34/4! + 35
Si ahora evaluamos cada término, obtenemos el resultado:
(2 + 3)5 = 32 + 240 + 480 + 480 + 240 + 243 = 1615
Conclusión
En este artículo hemos visto la demostración del binomio de Newton y hemos visto un ejemplo de aplicación práctica. Esperamos que este artículo te haya ayudado a comprender mejor la teoría del binomio de Newton y a poner en práctica estos conocimientos.
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