Ejercicios Resueltos De Racionalización: Guía Paso A Paso

September 30, 2024 Post a Comment

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Racionalizar una expresión algebraica significa eliminar las raíces cuadradas, raíces cúbicas y fracciones en una expresión, para obtener una expresión simplificada. Esto se logra multiplicando la expresión por el denominador de la fracción y multiplicando conjuntos de raíces cuadradas o cúbicas. Esta guía paso a paso le ayudará a resolver los ejercicios de racionalización con facilidad.

Cómo Racionalizar

Racionalizar una expresión algebraica significa eliminar las raíces cuadradas, raíces cúbicas y fracciones de la expresión. Esto se logra multiplicando la expresión por el denominador de la fracción y multiplicando conjuntos de raíces cuadradas o cúbicas. Para racionalizar una expresión algebraica, siga los pasos a continuación:

Identifique todas las raíces cuadradas, raíces cúbicas y fracciones en la expresión.
Calcule el denominador de cada fracción.
Multiplique cada fracción por su denominador.
Multiplique conjuntos de raíces cuadradas o cúbicas.
Simplifique la expresión.

Ejemplo de Racionalización

Considere el siguiente ejemplo de racionalización: racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3}. Para resolver este ejercicio, siga los pasos a continuación:

Identifique las raíces cuadradas, raíces cúbicas y fracciones en la expresión. En este caso, hay una fracción y una raíz cuadrada.
Calcule el denominador de la fracción. En este caso, el denominador es 3.
Multiplique la fracción por su denominador. Esto nos da \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{3}{3} = \frac{2\sqrt{2}\times 3}{3\times 3} = \frac{6\sqrt{2}}{9}.
Multiplique conjuntos de raíces cuadradas o cúbicas. En este caso, hay una raíz cuadrada, así que la multiplicamos por sí misma. Esto nos da \frac{6\sqrt{2}}{9}\times \sqrt{2} = \frac{6\times 2}{9} = \frac{12}{9}.
Simplifique la expresión. Esto nos da \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.

Por lo tanto, al racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3}, obtenemos \frac{4}{3}.

Ejercicios para Practicar

A continuación se muestran algunos ejercicios para practicar la racionalización:

Racionalizar la expresión algebraica \frac{3\sqrt{5}}{4}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{5\sqrt{3}}{6}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{7}}{5\sqrt{2}}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}.

Solución de los Ejercicios

A continuación se muestran las soluciones de los ejercicios anteriores:

Racionalizar la expresión algebraica \frac{3\sqrt{5}}{4}. Esto nos da \frac{3\sqrt{5}}{4}\times \frac{4}{4} = \frac{3\sqrt{5}\times 4}{4\times 4} = \frac{12\sqrt{5}}{16} = \frac{6\sqrt{5}}{8}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{5\sqrt{3}}{6}. Esto nos da \frac{5\sqrt{3}}{6}\times \frac{6}{6} = \frac{5\sqrt{3}\times 6}{6\times 6} = \frac{30\sqrt{3}}{36} = \frac{10\sqrt{3}}{12}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}. Esto nos da \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \times \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}\times 3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{9\sqrt{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}. Esto nos da \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} \times \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}\times 3\sqrt{5}}{3\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{10}}{9\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}. Esto nos da \frac{4\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} \times \frac{5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}\times 5\sqrt{3}}{5\sqrt{3}\times 5\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{25\sqrt{9}} = \frac{4\sqrt{2}}{5}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}. Esto nos da \frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} \times \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\times 4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{16\sqrt{4}} = \frac{3}{4}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}. Esto nos da \frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}} \times \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\times 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{10}}{9\sqrt{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{3}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{7}}{5\sqrt{2}}. Esto nos da \frac{\sqrt{7}}{5\sqrt{2}} \times \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\times 5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}} = \frac{35\sqrt{14}}{25\sqrt{4}} = \frac{7\sqrt{7}}{5}.
Racionalizar la expresión algebraica \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}. Esto nos da \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}\times 2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{15}}{4\sqrt{25}} = \frac{3}{2}.

Conclusion

En conclusión, la racionalización es una técnica para eliminar raíces cuadradas, raíces cúbicas y fracciones de una expresión algebraica. Para racionalizar una expresión algebraica, siga los pasos descritos anteriormente. Si practica con los ejercicios anteriores, podrá dominar la técnica de racionalización con facilidad. ¡Buena suerte!