Ejercicios Para Hallar El Vértice De Una Función Cuadrática

September 30, 2023 Post a Comment

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En matemáticas, el vértice de una función cuadrática es el punto de máximo o mínimo de la gráfica de la función. En este artículo explicaremos cómo hallar el vértice de una función cuadrática y daremos algunos ejercicios para entender mejor el concepto. Así que si quieres saber cómo hallar el vértice de una función cuadrática, ¡sigue leyendo!

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado. Esto quiere decir que la función está formada por una variable elevada al cuadrado más la variable elevada al grado uno más una constante. La forma general de una función cuadrática es la siguiente: f(x) = ax² + bx + c. A esta función se le conoce también como función cuadrática o parábola.

¿Cómo hallar el vértice de una función cuadrática?

Para hallar el vértice de una función cuadrática, debemos calcular la raíz del discriminante de la función. El discriminante es el resultado de restarle al cuadrado del coeficiente del segundo término (b), el producto de cuatro veces el coeficiente del primer término (a) por el coeficiente del tercer término (c). Esta operación la debemos realizar dentro de una raíz cuadrada. Una vez que hayamos hallado el discriminante, el vértice de la función se hallará con la siguiente fórmula: V = (−b/2a; f(V)). La primera parte de la fórmula, (−b/2a), indica el valor de x del vértice. La segunda parte de la fórmula, f(V), nos indica el valor de y del vértice.

Ejemplo 1

Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = -2x² + 3x – 4. Primero debemos hallar el discriminante de la función, para ello debemos restarle al cuadrado del coeficiente del segundo término (3), el producto de cuatro veces el coeficiente del primer término (−2) por el coeficiente del tercer término (−4). Esta operación la debemos realizar dentro de una raíz cuadrada: √9+32 = √41 = 6,403. Una vez que hayamos hallado el discriminante, debemos calcular el vértice de la función con la siguiente fórmula: V = (−b/2a; f(V)). La primera parte de la fórmula, (−b/2a), indica el valor de x del vértice. En este caso, −b/2a = (3/2)· (−2) = −3. Por lo tanto, el valor de x del vértice es −3. La segunda parte de la fórmula, f(V), nos indica el valor de y del vértice. Para ello debemos sustituir el valor de x del vértice en la función cuadrática original. f(−3) = (−2)· (−3)² + 3· (−3) − 4 = −2·9 + (−9) − 4 = −27 + 9 − 4 = −22. Por lo tanto, el valor de y del vértice es −22. Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es (−3; −22).

Ejercicios para hallar el vértice de una función cuadrática

A continuación te presentamos algunos ejercicios para que practiques el hallar el vértice de una función cuadrática:

Ejercicio 1: Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = 4x² + 12x + 10.
Ejercicio 2: Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = 3x² − 15x − 7.
Ejercicio 3: Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = 6x² + 8x − 9.
Ejercicio 4: Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = −2x² − 7x + 6.
Ejercicio 5: Hallar el vértice de la función cuadrática: f(x) = 5x² − 10x − 3.

Solución

A continuación te presentamos la solución de los ejercicios para hallar el vértice de una función cuadrática:

Ejercicio 1: Primero debemos hallar el discriminante de la función, para ello debemos restarle al cuadrado del coeficiente del segundo término (12), el producto de cuatro veces el coeficiente del primer término (4) por el coeficiente del tercer término (10). Esta operación la debemos realizar dentro de una raíz cuadrada: √144+160 = √304 = 17,403. Una vez que hayamos hallado el discriminante, debemos calcular el vértice de la función con la siguiente fórmula: V = (−b/2a; f(V)). La primera parte de la fórmula, (−b/2a), indica el valor de x del vértice. En este caso, −b/2a = (12/2)· (4) = 24. Por lo tanto, el valor de x del vértice es 24. La segunda parte de la fórmula, f(V), nos indica el valor de y del vértice. Para ello debemos sustituir el valor de x del vértice en la función cuadrática original. f(24) = 4·24² + 12·24 + 10 = 4·576 + 288 + 10 = 2304 + 10 = 2314. Por lo tanto, el valor de y del vértice es 2314. Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es (24; 2314).
Ejercicio 2: Primero debemos hallar el discriminante de la función, para ello debemos restarle al cuadrado del coeficiente del segundo término (−15), el producto de cuatro veces el coeficiente del primer término (3) por el coeficiente del tercer término (−7). Esta operación la debemos realizar dentro de una raíz cuadrada: √225+112 = √337 = 18,369. Una vez que hayamos hallado el discriminante, debemos calcular el vértice de la función con la siguiente fórmula: V = (−b/2a; f(V)). La primera parte de la fórmula, (−b/2a), indica el valor de x del vértice. En este caso, −b/2a = (−15/2)· (3) = −22,5. Por lo tanto, el valor de x del vértice es −22,5. La segunda parte de la fórmula, f(V), nos indica el valor de y del vértice. Para ello debemos sustituir el valor de x del vértice en la función cuadrática original. f(−22,5) = 3· (−22,5)² − 15· (−22,5) − 7 = 3·506,25 + 337,5 − 7 = 1518,75 − 7 = 1511,75. Por lo tanto, el valor de y del vértice es 1511,75. Por lo tanto, el vértice de la función cuadrática es (−22,5; 1511,75).
Ejercicio 3: Primero debemos hallar el discriminante de la función, para ello debemos restarle al cuadrado del coeficiente del segundo término (8), el producto de cuatro veces el coeficiente del primer término (6) por el coeficiente del tercer término (−9). Esta operación la debemos realizar dentro de una raíz cuadrada: √64+144 = √208 = 14,422. Una vez que hayamos hallado el discriminante, debemos calcular el vértice de la función con la siguiente fórmula: V = (−b/2a; f(V)). La primera parte de la fórmula, (−b/2a), indica el valor de x del vértice. En este caso, −b/2a = (8/2)· (6) = 24. Por lo tanto, el valor de x del vértice es 24. La segunda parte de la fórmula, f(V), nos indica el valor de y del vértice. Para ello debemos sustituir el valor de x del vértice en la función cuadrática original. f(24) = 6·24² + 8·24 − 9 = 6·576 + 192 − 9 = 3456 + 192 − 9 = 3649. Por lo tanto, el valor de y del vértice es 3649. Por lo tanto, el vértice de la función cuadrát